Quiz : Suites Géométriques - Approfondissement

Correction:

C'est la formule fondamentale à connaître pour les suites géométriques. Chaque terme est obtenu en multipliant le premier terme par la raison élevée à la puissance $n$.

Correction:

La relation $u_{n+1} = 5u_n$ montre que chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par 5 (la raison). C'est la définition d'une suite géométrique.

Correction :

On utilise la formule du terme général : $u_n = u_0 \times q^n$.

Donc, $u_4 = u_0 \times q^4 = 3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$.

Correction :

Attention, ici le premier terme donné est $u_1$, et non $u_0$ !

La formule générale dans ce cas est : $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.

Donc, $u_5 = u_1 \times q^{5-1} = 8 \times (\frac{1}{2})^4 = 8 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{2}$.

Correction :

C'est la définition d'une suite arithmético-géométrique. Elle combine une multiplication par une constante ($a$) et une addition d'une constante ($b$).

Correction :

$l$ est le "point fixe" de la relation de récurrence. On choisit $l$ pour que la suite $(v_n)$ soit géométrique. En remplaçant $u_n$ par $l$ et $u_{n+1}$ par $l$ dans la relation de récurrence, on obtient $l = al + b$.

Correction :

Comme $(v_n)$ est géométrique, $v_n = v_0q^n$.

On a $u_n = v_n + 5$, donc en remplaçant $v_n$ par son expression, on obtient $u_n = v_0q^n + 5$.

Correction :

Si la raison est supérieure à 1 et le premier terme positif, chaque terme est plus grand que le précédent (on multiplie par un nombre plus grand que 1). Donc, la suite est croissante.

Correction :

Si la raison est comprise entre 0 et 1 et le premier terme positif, chaque terme est plus petit que le précédent (on multiplie par un nombre plus petit que 1, mais positif). Donc, la suite est décroissante.

Correction:

Une augmentation de 2% correspond à une multiplication par $1 + \frac{2}{100} = 1.02$. C'est donc une suite géométrique de raison 1.02 et de premier terme 10000.

Au bout de 10 ans, la population sera $10000 \times (1.02)^{10} \approx 12189.94$. En arrondissant à l'unité, on obtient 12190 habitants.

Correction :

Pour qu'une suite soit géométrique, il faut que le rapport entre deux termes consécutifs soit constant (et égal à la raison).

Correction :

Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :

$v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = (2u_n + 3) + 3 = 2u_n + 6$.

On sait que $v_n = u_n + 3$, donc $u_n = v_n - 3$. On remplace :

$v_{n+1} = 2(v_n - 3) + 6 = 2v_n - 6 + 6 = 2v_n$.

Donc, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 2.

Correction :

La suite de Fibonacci n'est pas géométrique. Le rapport entre deux termes consécutifs n'est pas constant. Les premiers termes sont 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8... On voit que 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, etc. Ce n'est pas constant.

Correction :

L'expression est de la forme $u_n = u_0 \times q^n$, avec $u_0 = 5$ et $q = -2$.

C'est donc bien une suite géométrique, de raison -2.

Correction :

Pour trouver $u_0$, on remplace $n$ par 0 dans l'expression de $u_n$:

$u_0 = 3 \times 2^{0-1} = 3 \times 2^{-1} = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Correction :

Une augmentation de 5% correspond à une multiplication par 1 + 5/100 = 1.05.

On a donc une suite géométrique de raison 1.05 et de premier terme 1000 : $C_n = 1000 \times (1.05)^n$.

Correction :

$u_1 = -3u_0 = -3(2) = -6$

$u_2 = -3u_1 = -3(-6) = 18$

$u_3 = -3u_2 = -3(18) = -54$

Correction :

On sait que $u_4 = u_2 \times q^{4-2} = u_2 \times q^2$.

Donc, $108 = 12 \times q^2$. D'où $q^2 = \frac{108}{12} = 9$.

Comme on suppose $q>0$, on a $q = \sqrt{9} = 3$.

Correction :

Une diminution de 1% correspond à une multiplication par $1 - \frac{1}{100} = 0.99$.

Si on note $P_n$ la population en l'an $2020 + n$, on a une suite géométrique de raison 0.99 et de premier terme $P_0 = 50000$.

En 2030, $n = 2030 - 2020 = 10$. On cherche donc $P_{10} = 50000 \times (0.99)^{10} \approx 45227.84$.

En arrondissant à l'unité, on obtient 45228 habitants.

Correction :

$u_0 = -2 \times 3^0 = -2 \times 1 = -2$.

$u_1 = -2 \times 3^1 = -2 \times 3 = -6$.

$u_2 = -2 \times 3^2 = -2 \times 9 = -18$.

Donc, $u_0 + u_1 + u_2 = -2 + (-6) + (-18) = -26$.

Correction :

Comme la raison est négative (-2), chaque terme a un signe opposé à celui du terme précédent. Puisque $u_0 = 1$ (positif), $u_1$ sera négatif, $u_2$ positif, $u_3$ négatif, et ainsi de suite. Les termes alternent entre positif et négatif.

Correction :

$v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = (\frac{1}{2}u_n + 1) - 2 = \frac{1}{2}u_n - 1$.

On sait que $v_n = u_n - 2$, donc $u_n = v_n + 2$. On remplace :

$v_{n+1} = \frac{1}{2}(v_n + 2) - 1 = \frac{1}{2}v_n + 1 - 1 = \frac{1}{2}v_n$.

Correction :

Calculons $v_{n+1}$ : $v_{n+1} = u_{n+1} + 1 = (2u_n + 1) + 1 = 2u_n + 2$.

Comme $v_n = u_n + 1$, on a $u_n = v_n - 1$.

En remplaçant, $v_{n+1} = 2(v_n - 1) + 2 = 2v_n - 2 + 2 = 2v_n$.

On a bien $v_{n+1} = 2v_n$, donc $(v_n)$ est géométrique de raison 2.

Correction :

$u_0=4$
$u_1 = 4 \times (-3) = -12$.
$u_2 = -12 \times (-3) = 36$.
$u_3 = 36 \times (-3) = -108$.
$S = 4 + (-12) + 36 + (-108) = 40 -120= -80$

Correction :

Une augmentation de 4% correspond à une multiplication par 1.04.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $2000 \times (1.04)^n \ge 4000$, soit $(1.04)^n \ge 2$.

En testant avec la calculatrice, on trouve que :
$(1.04)^{17} \approx 1.9479 < 2$.
$(1.04)^{18} \approx 2.0258 > 2$.
Il faut donc 18 ans.

Correction :

$u_{10} = u_0 \times q^{10} = -1 \times (-1)^{10} = -1 \times 1 = -1$.

Correction :

On utilise la formule $u_n = u_p \times q^{n-p}$.

Ici, $u_6 = u_3 \times q^{6-3} = u_3 \times q^3 = 10 \times 5^3 = 10 \times 125 = 1250$.

Correction :

Soit $(c_n)$ la suite des côtés. On a $c_1 = 10$ et $c_{n+1} = \frac{1}{2}c_n$. C'est une suite géométrique de raison 1/2.

Donc, $c_n = c_1 \times (\frac{1}{2})^{n-1} = 10 \times (\frac{1}{2})^{n-1}$.

L'aire du carré de côté $c_n$ est $A_n = c_n^2 = \left(10 \times (\frac{1}{2})^{n-1}\right)^2 = 100 \times (\frac{1}{4})^{n-1}$.

On cherche l'aire du 5ème carré, donc $A_5 = 100 \times (\frac{1}{4})^{5-1} = 100 \times (\frac{1}{4})^4 = 100 \times \frac{1}{256} = \frac{100}{256} =\frac{25}{64} =0.390625 $. La question etait mal posée

Correction :

On a $v_{n+1}= u_{n+1}-3= \frac{2}{3}u_n+1 -3=\frac{2}{3}u_n -2$
On sait que $v_n=u_n-3$, donc $u_n=v_n+3$
On remplace et on obtient $v_{n+1}=\frac{2}{3}(v_n+3) -2= \frac{2}{3}v_n +2-2=\frac{2}{3}v_n$
On a bien une suite géométrique de raison $\frac{2}{3}$

Correction :

Si une suite $(u_n)$ est à la fois arithmétique (de raison $r$) et géométrique (de raison $q$), alors on a, pour tout $n$ : $u_{n+1} = u_n + r$ et $u_{n+1} = qu_n$.

Donc, $u_n + r = qu_n$, ce qui donne $r = (q-1)u_n$.

Si $q \neq 1$, alors $u_n$ serait constant et égal à $\frac{r}{q-1}$.
Si q=1 alors r =0 et la suite est bien constante